Question

19．一个直角三角形的周长为2p．
（1）求其斜边长的最小值；
（2）求其直角边的和的最大值；
（3）求其面积的最大值．

Answer 1

分析 根据题意，设该直角三角形的两个直角边为a、b，斜边为c，则有a+b+c=2p，
（1）由基本不等式可得（a+b）≤$\sqrt{2}$c，代入a+b+c=2p可得$\sqrt{2}c$+c≥2p，解可得c的最小值；
（2）由基本不等式可得c≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b），代入a+b+c=2p可得（a+b）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）≤2p，解可得答案；
（3）由勾股定理可得（a+b）+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2p，由基本不等式可得a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，代入（a+b）+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2p可得2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$≤2p，解可得$\sqrt{ab}$的最大值，将其代入三角形面积公式S=$\frac{1}{2}$ab计算可得答案．

解答 解：根据题意，设该直角三角形的两个直角边为a、b，斜边为c，则有a+b+c=2p，
（1）、由基本不等式，（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=$\frac{{c}^{2}}{2}$，
即（a+b）≤$\sqrt{2}$c，
若a+b+c=2p，且有$\sqrt{2}c$+c≥2p，
解可得c≥2（$\sqrt{2}$-1）p，
即其斜边长的最小值2（$\sqrt{2}$-1）p；
（2）由（1）可得（a+b）≤$\sqrt{2}$c，即c≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）；
若a+b+c=2p，则有（a+b）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）≤2p，
即可得a+b≤2（2-$\sqrt{2}$）p，
即其直角边的和的最大值2（2-$\sqrt{2}$）p，
（3）三角形为直角三角形，则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
则有（a+b）+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2p，
又由a+b≥2$\sqrt{ab}$，a²+b²≥2ab，
则有2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$≤2p，
则有$\sqrt{ab}$≤$\frac{2p}{2+\sqrt{2}}$=（2-$\sqrt{2}$）p，则ab≤（6-4$\sqrt{2}$）p²，
故有S=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$≤（6-4$\sqrt{2}$）p²=（3-2$\sqrt{2}$）p²．
∴面积的最大值（3-2$\sqrt{2}$）p²．

点评 本题考查基本不等式的应用，关键是数列掌握、灵活应用利用基本不等式．考查计算能力，属于中档题．