Question

（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．

Answer 1

分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；
（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．

解答：解：（1）f（1-2x）-f（x）=lg（1-2x+1）-lg（x+1）=lg（2-2x）-lg（x+1），
要使函数有意义，则
由

2-2x＞0 x+1＞0

解得：-1＜x＜1．
由0＜lg（2-2x）-lg（x+1）=lg

2-2x

x+1

＜1得：1＜

2-2x

x+1

＜10，
∵x+1＞0，∴x+1＜2-2x＜10x+10，
∴-

2

3

＜ x＜

1

3

．
由

-1＜x＜1 - 2 3 ＜x＜ 1 3

得：-

2

3

＜x＜

1

3

．
（2）当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x-2）=g（2-x）=f（2-x）=lg（3-x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3-10^y，
∴所求反函数是y=3-10^x，x∈[0，lg2]．

点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．