Question

已知定点F（0，1）和直线l₁：y=-1，过定点F与直线l₁相切的动圆圆心为点C．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）过点F在直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求

RP

•

RQ

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据点C到点F的距离等于它到l₁的距离，依据抛物线的定义可知点C的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线，进而求得其轨迹方程．
（2）设出直线l₂的方程与抛物线方程联立消去y，设出P，Q的坐标，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而可得点R的坐标，表示出

RP

•

RQ

，根据均值不等式求得其最小值．

解答：解：（1）由题设点C到点F的距离等于它到l₁的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l₁为准线的抛物线
∴所求轨迹的方程为x²=4y
（2）由题意直线l₂的方程为y=kx+1，
与抛物线方程联立消去y得x²-4kx-4=0．
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为(-

2

k

，-1)

RP

•

RQ

=(x1+

2

k

，y1+1)•(x2+

2

k

，y2+1)
=(x1+

2

k

)(x2+

2

k

)+(kx1+2)(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+(

2

k

+2k)(x1+x2)+

4

k2

+4
=-4(1+k2)+4k(

2

k

+2k)+

4

k2

+4
=4(k2+

1

k2

)+8，
∵k2+

1

k2

≥2，当且仅当k²=1时取到等号．

RP

•

RQ

≥4×2+8=16，即

RP

•

RQ

的最小值为16

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，