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【题目】已知函数为自然对数的底数),.

(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极值;

(Ⅱ)已知函数上为增函数,且,若在上至少存在一个实数,使得成立,求的取值范围.

【答案】(Ⅰ)递增区间,递减区间,极大值为,无极小值 ;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)利用导数求出函数的单调区间以及极值;

(Ⅱ)对函数求导,利用题设条件得出,构造函数,分类讨论的值,当时,由于小于0,则不存在使得成立;当时,利用导数得出函数的最大值,由解出的取值范围.

解:(Ⅰ)

时,递增;

时,递减,

所以的递增区间为

递减区间为

极大值为,无极小值

(Ⅱ)由已知有上恒成立,恒成立,

时,,且,所以不存在使得成立;

时,,又

上恒成立,上递增,

,所以的取值范围是

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