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设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数,g(x)=f(x)+f′(x),
(Ⅰ)求g(x)的单调区间和最小值;
(Ⅱ)讨论g(x)与的大小关系;
(Ⅲ)是否存在x0>0,使得|g(x)-g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由。
解:(Ⅰ)由题设易知f(x)=lnx,
,令g′(x)=0得x=1,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间,
因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
所以最小值为g(1)=1。
(Ⅱ)
,则
当x=1时,h(1)=0,即
时,
因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减;
当0<x<1时,,即
当x>1时,,即
(Ⅲ)满足条件的x0不存在;
证明如下:假设存在,使对任意x>0成立,
即对任意x>0,有,(*)
但对上述,取时,有,这与(*)左边不等式矛盾;
因此,不存在,使对任意x>0成立。
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