Question

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥3）具有性质P；对任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0，2，4，6具有性质P；
②若数列A具有性质P，则a₁=0；
③若数列A具有性质P且a₁≠0a_n-a_n-k=a_k（k=1，2，…，（n-1）；
④若数列a₁，a₂，a₃（0≤a₁＜a₂＜a₃）具有性质P，则a₃=a₁+a₂
其中真命题有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer 1

【答案】分析：根据数列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3时具有性质P，对任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知②错误，其余都正确．
解答：解：①数列0，2，4，6中，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i＜j≤3）两数中都是该数列中的项，
并且a₄-a₃=2是该数列中的项，故①正确；
②由题设知：1，2，3具有性质P，但a₁=1≠0；故②不正确；
③若数列A具有性质P，且a₁≠0，
则a_n+a_n-k和a_n-a_n-k中至少有一个是该数列中的一项，
∵a_n+a_n-k不一定是该数列中的项，
∴a_n-a_n-k（k=1，2，…，n-1）一定在该数列中，
∴a_n-a_n-k=a_k；故③正确．
④∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴a₁+a₃与a₃-a₁至少有一个是该数列中的一项，
1°若a₁+a₃是该数列中的一项，则a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是该数列的项
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂．
2°若a₃-a₁是该数列中的一项，则a₃-a₁=a₁或a₂或a₃，
i若a₃-a₁=a₃同1°，
ii若a₃-a₁=a₂，则a₃=a₂，与a₂＜a₃矛盾，
iiia₃-a₁=a₁，则a₃=2a₁，
综上a₁+a₃=2a₂．故④正确．
故选B．
点评：本题是一道新型的探索性问题，认真理解题目所给的条件后解决问题，通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．