Question

4．如图所示，直三棱柱ABC-A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，D为底棱AC的中点．
（1）求证：A′B⊥平面AB′C′；
（2）过B′C′以及点D的平面与AB交于点E，求证：E为AB中点；
（3）求三棱锥D-AB′C′的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出A′B⊥AB′，B′C′⊥A′B，由此能证明A′B⊥平面AB′C′．
（2）推导出B′C′∥DE，从而DE∥BC，由此能证明E为AB中点．
（3）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥D-AB′C′的体积．

解答 证明：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，
∴A′B⊥AB′，AA′⊥BC，AB⊥BC，
∵AB∩AA′=A，∴BC⊥平面ABB′A′，
∵BC∥B′C′，∴B′C′⊥平面ABB′A′，
∵A′B?平面ABB′A′，∴B′C′⊥A′B，
∵AB′∩B′C′=B′，∴A′B⊥平面AB′C′．
（2）∵D为底棱AC的中点，
过B′C′以及点D的平面与AB交于点E，
∴B′C′与DE共面，
∵平面ABC∥平面A′B′C′，∴B′C′∥DE，
∵B′C′∥BC，∴DE∥BC，
∵D是AC的中点，∴E为AB中点．
解：（3）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB′为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=BC=BB′=2，D为底棱AC的中点，
∴D（1，1，0），A（2，0，0），B′（0，0，2），C′（0，2，2），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{B}^{'}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{A{C}^{'}}$=（-2，2，2），
设平面AB′C′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{B}^{'}}•\overrightarrow{n}=-2x+2z=0}\\{\overrightarrow{A{C}^{'}}•\overrightarrow{n}=-2x+2y+2z}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴点D到平面AB′C′的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
${S}_{△A{B}^{'}{C}^{'}}$=$\frac{1}{2}×A{B}^{'}×{B}^{'}{C}^{'}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{4+4}×2$=2$\sqrt{2}$，
∴三棱锥D-AB′C′的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△A{B}^{'}{C}^{'}}$×d=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点为直线的中点的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．