【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)设,若且有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1)当时,在上是增函数;当时,在,上是增函数,在上是减函数.(2)
【解析】
(1)求定义域以及导数,对参数进行分类讨论,求解对应情况下的单调性即可;
(2)由(1)中所得,可知的解析式,根据的单调性,将零点问题转化为图像相交的问题,数形结合,求解参数范围.
(1)的定义域为,,
,
对于,,
当时,,
则在上是增函数.
当时,
对于,有,则在上是增函数.
当时,
令,得或,
令,得,
所以在,上是增函数,
在上是减函数.
综上,当时,在上是增函数;
当时,在,上是增函数,
在上是减函数.
(2)由已知可得,
因为,所以,而,所以,
所以,所以在上单调递增.
所以.
故有两个零点,等价于
=在内有两个零点.
等价于有两根,
显然不是方程的根,
因此原方程可化为,
设,,
由解得,或
由解得,
故在上单调递减,在上单调递增.
其图像如下所示:
所以,
所以,
所以.
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【题目】手机等数码产品中的存储器核心部件是闪存芯片,闪存芯片有两个独立的性能指标:数据传输速度和使用寿命,数据传输速度的单位是,使用寿命指的是完全擦写的次数(单位:万次).某闪存芯片制造厂为了解产品情况,从一批闪存芯片中随机抽取了100件作为样本进行性能测试,测试数据经过整理得到如下的频率分布直方图(每个分组区间均为左闭右开),其中,,成等差数列且.
(1)估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数.
(2)估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数.(每组数据以中间值为代表)
(3)规定数据传输速度不低于为优,使用寿命不低于10万次为优,且两项指标均为优的闪存芯片为级产品,仅有一项为优的为级产品,没有优的为级产品.现已知样本中有45件级产品,用样本中不同级别产品的频率代替每件产品为相应级别的概率,从这一批产品中任意抽取4件,求其中至少有2件级产品的概率.
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为,定点,过点且斜率不为零的直线与椭圆交于,两点,以线段为直径的圆与直线的另一个交点为,试探究在轴上是否存在一定点,使直线恒过该定点,若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知,为椭圆的左、右顶点,为其右焦点,是椭圆上异于,的动点,且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)直线与椭圆在点处的切线交于点,当点在椭圆上运动时,求证:以为直径的圆与直线恒相切.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数,).
(1)求直线的直角坐标方程及曲线的普通方程;
(2)直线和曲线相交于点,,设相交弦的长度为,求.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线在平面直角坐标系下的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程及极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程是,射线: 与曲线交于点与直线交于点,求线段的长.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数且,,,曲线的参数方程为为参数),以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程及的直角坐标方程;
(2)若曲线与曲线分别交于点,,求的最大值.
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【题目】如图①:在平行四边形中,,,将沿对角线折起,使,连结,得到如图②所示三棱锥.
(1)证明:平面;
(2)若,二面角的平面角的正切值为,求直线与平面所成角的正弦值.
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