Question

把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

Answer 1

分析：（1）由已知中容器的高为x，正三棱柱形容器的底边长为(6-2

3

x)，我们计算出棱柱的底面面积代入棱柱体积公式，即可求出函数V（x）的解析式，并根据高和底面边长均为正和，可以得到函数的解析式．
（2）由（1）的中的解析式，我们求出函数导函数的解析式，利用导数法，求出函数的极值点，分析函数的单调性，即可得到当x为多少时，容器的容积最大，代入即可得到最大容积．

解答：解：（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(6-2

3

x)（1分）．
则V(x)=

3

4

(6-2

3

x)2x（4分）
函数的定义域为(0，

3

)（5分）
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间(0，

3

)上的最大值点．先求V（x）的极值点．
在开区间(0，

3

)内，V′(x)=9

3

x2-36x+9

3

（7分）
令V′（x）=0，即令9

3

x2-36x+9

3

=0，解得x1=

3

3

，x2=

3

(舍去)．
因为x1=

3

3

在区间(0，

3

)内，x₁可能是极值点．当0＜x＜x₁时，V′（x）＞0；
当x1＜x＜

3

时，V′（x）＜0．（9分）
因此x₁是极大值点，且在区间(0，

3

)内，x₁是唯一的极值点，
所以x=x1=

3

3

是V（x）的最大值点，并且最大值 f(

3

3

)=4
即当正三棱柱形容器高为

3

3

时，容器的容积最大为4．

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答本题的关键是根据已知求出棱柱的底面面积和高，进而求出函数的解析式，建立数学模型．