Question

4．函数f（x）=|e^x-bx|，其中e为自然对数的底．
（1）当b=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）记g（x）=e^x-bx，当b=1时，g′（x）=e^x-1，从而可得f′（1）=g′（1）=e-1，由此可求切线方程；
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一个解，即方程e^x-bx=0有且只有一个解，因为x=0不满足方程，所以方程同解于b=$\frac{{e}^{x}}{x}$，分类讨论可得当x∈（0，+∞）时，方程有且只有一解等价于b=e；当x∈（-∞，0）时，方程有且只有一解等价于b∈（-∞，0），从而可得b的取值范围．

解答 解：（1）记g（x）=e^x-bx．
当b=1时，g′（x）=e^x-1．
当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数．
又g（0）=1＞0，所以当x∈（0，+∞）时，g（x）＞0．
所以当x∈（0，+∞）时，f（x）=|g（x）|=g（x），
所以f′（1）=g′（1）=e-1．
所以曲线y=f（x）在点（1，e-1）处的切线方程为：y-（e-1）=（e-1）（x-1），
即y=（e-1）x．  
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一个解，
即方程e^x-bx=0有且只有一个解．
因为x=0不满足方程，所以方程同解于b=$\frac{{e}^{x}}{x}$．  
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，由h′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$=0得x=1．
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，+∞）；
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，+∞）；
所以当x∈（0，+∞）时，方程b=$\frac{{e}^{x}}{x}$有且只有一解等价于b=e．
当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），
从而方程b=$\frac{{e}^{x}}{x}$有且只有一解等价于b∈（-∞，0）．
综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}．

点评 本题考查导数知识的运用：求切线方程和函数的单调性，考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．