Question

16．以下四个命题．：
①若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n²也存在；
②若$\underset{lim}{n→∞}$|a_n|存在，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n也存在；
③若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$也存在．
④若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n-b_n），$\underset{lim}{n→∞}$（a_n+b_n）存在，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n与$\underset{lim}{n→∞}$b_n都存在；
其中假命题的个数为 （　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由数列的定义及极限的定义，举反例即可．

解答 解：①若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，不妨设$\underset{lim}{n→∞}$a_n=A，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n²=A²，故成立；
②不妨设a_n=（-1）ⁿ，故$\underset{lim}{n→∞}$|a_n|存在，$\underset{lim}{n→∞}$a_n不存在；
③若$\underset{lim}{n→∞}$a_n存在，不妨设$\underset{lim}{n→∞}$a_n=A，当A=-1时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$不存在．
④若$\underset{lim}{n→∞}$（a_n-b_n）=A，$\underset{lim}{n→∞}$（a_n+b_n）=B，则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\frac{A+B}{2}$，$\underset{lim}{n→∞}$b_n=$\frac{B-A}{2}$；
故选：C．

点评 本题考查了极限的定义及数列的定义的应用．