Question

设函数f（x）=tan（2x-

π

3

）．
（1）求f（x）的定义域、周期和单调区间；
（2）求不等式-1≤f（x）≤

3

的解集；
（3）求f（x），x∈[0，π]的值域．

Answer 1

考点：正切函数的值域,正切函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由函数f（x）=tan（2x-

π

3

）可得2x-

π

3

≠kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的定义域．由kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由不等式-1≤f（x）≤

3

，可得 kπ-

π

4

≤2x-

π

3

≤kπ+

π

3

，求得x的范围，可得不等式的解集．
（3）由x∈[0，π]，可得2x-

π

3

的范围，从而求得tan（2x-

π

3

）的范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=tan（2x-

π

3

），∴2x-

π

3

≠kπ+

π

2

，k∈z．
求得 x≠

kπ

2

+

5π

12

，故函数的定义域为{x|x≠

kπ

2

+

5π

12

，k∈z}．
由kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，求得

kπ

2

-

π

12

＜x＜

kπ

2

+

5π

12

，
故函数的增区间为 （

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

5π

12

），k∈z．
（2）由不等式-1≤f（x）≤

3

，可得 kπ-

π

4

≤2x-

π

3

≤kπ+

π

3

，
求得

kπ

2

+

π

24

≤x≤

kπ

2

+

π

3

，故不等式的解集为[

kπ

2

+

π

24

，

kπ

2

+

π

3

]，k∈z．
（3）∵x∈[0，π]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]，故tan（2x-

π

3

）∈R．

点评：本题主要考查正切函数的定义域和值域，正切函数的单调性，属于中档题．