Question

14．平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是夹角为60°的单位向量，且（$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）≤0，则|$\overrightarrow{c}$|的取值范围是[$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$]．

Answer 1

分析 根据向量的数量积和坐标运算得到x²-$\frac{7}{2}x$+$\frac{3}{2}$+y²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y≤0，即$\overrightarrow{c}$在是以（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）为圆心，以$\frac{\sqrt{7}}{2}$为半径的圆上或圆的内部，求出|0C|的距离，根据与半径的关系即可得到|$\overrightarrow{c}$|的取值范围．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是夹角为60°的单位向量，
设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$（x，y），
∴$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$=（x-3，y），$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$=（x-$\frac{1}{2}$，y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴（$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）=x²-$\frac{7}{2}x$+$\frac{3}{2}$+y²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
∵（$\overrightarrow{c}$-3$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$）≤0，
∴x²-$\frac{7}{2}x$+$\frac{3}{2}$+y²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$y≤0，
∴（x-$\frac{7}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²≤$\frac{7}{4}$，
∴$\overrightarrow{c}$在是以（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）为圆心，以$\frac{\sqrt{7}}{2}$为半径的圆上或圆的内部，
∴|OC|=$\frac{2\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|_min=|OC|-r=$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|_max=|OC|+r=$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|的取值范围是[$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{13}-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{13}+\sqrt{7}}{2}$]．

点评 本题考查了向量的数量积德运算和圆的有关性质，属于中档题．