Question

【题目】对任意实数，定义函数，已知函数，，记.

（1）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，且，求使得等式成立的的取值范围；

（3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

(1)由题意恒成立,再利用二次函数恒成立的性质求解即可.

(2)由题,再分和两种情况讨论即可.

(3) 由(2)知,且,再分段与分参数的取值范围情况讨论即可.

解：（1）据题意知,恒成立,

即有对于任意的恒成立.

∴由得,∴.

（2）∵,

∴,

又由知,,

∴,

∴有时,.

①当时,,

∴,

又,∴.

②当时,,

∴,

∵,∴,

∴上式不成立.

综上①②知,使等式成立的的取值范围是.

（3）由（2）知,且

∴

∴当时,,∴.

当时,,

①当时,又,即时,

；

②当时,即时,；

∴综上知,.

由时,；

由无实数解；

由时,.