精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知向量,其中(x,y,c∈R),把其中x,y所满足的关系式记为y=f(x),若函数f(x)为奇函数.
(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ) 已知数列{an}的各项都是正数,Sn为数列{an}的前n项和,且对于任意n∈N*,都有“{f(an)}的前n项和等于Sn2,”求数列{an}的通项式;
(Ⅲ) 若数列{bn}满足,求数列{bn}的最小值.
【答案】分析:(Ⅰ)根据向量平行得出函数y=f(x),再利用函数f(x)为奇函数,可求c=1,从而可得函数f(x)的表达式;
(Ⅱ) 根据条件对于任意n∈N*,都有“{f(an)}的前n项和等于Sn2,写出两等式,两式相减可得∴{an}为公差为1的等差数列,从而可求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)根据an=n(n∈N*),可得bn=4n-a•2n+1=(2n-a)2-a2,由于2n≥2,故需对a进行分类讨论.
解答:解:(Ⅰ)∵
因为函数f(x)为奇函数.所以c=1,⇒f(x)=x3(x≠0)…(4分)
(Ⅱ)由题意可知,f(a1)+f(a2)+…+f(an)=Sn2⇒a13+a23+a33+…+an3=Sn2…..①
n≥2时∴a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12…②
由①-②可得:an3=Sn2-Sn-12=an(Sn+Sn-1),
∵{an}为正数数列∴an2=Sn+Sn-1…③…(2分)∴an+12=Sn+1+Sn…④
由④-③可得:an+12-an2=an+1+an∵an+1+an>0,∴an+1-an=1,…(2分)
且由①可得a13=a12,a1>0⇒a1=1,a13+a23=S22,a2>0⇒a2=2,∴a2-a1=1∴{an}为公差为1的等差数列,∴an=n(n∈N*)…(2分)
(Ⅲ)∵an=n(n∈N*),∴bn=4n-a•2n+1=(2n-a)2-a2(n∈N*)…(2分)
令2n=t(t≥2),∴bn=(t-a)2-a2(t≥2)
(1)当a≤2时,数列{bn}的最小值为:当n=1时,b1=4-4a.…(2分)
(2)当a>2时
①若a=2k+1(k∈N*)时,数列{bn}的最小值为当n=k+1时,bk+1=-a2.…(1分)
②若时,数列{bn}的最小值为,当n=k或n=k+1时,bk=bk+1=(2k-a)2-a2.…(1分)
③若时,数列{bn}的最小值为,当n=k时,bk=(2k-a)2-a2…(1分)
④若时,数列{bn}的最小值为,当n=k+1时,bk+1=(2k+1-a)2-a2.…(1分)
点评:本题的考点是数列与向量的综合,主要考查向量共线条件的运用,考查数列通项公式的求解,考查了函数的最值,关键是正确分类.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m1
=(0,x),
n1
=(1,1),
m2
=(x,0),
n2
=(y2,1)(其中x,y是实数),又设向量
m
=
m1
2
n2
n
=
m2
-
2
n1
,且
m
n
,点P(x,y)的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与y轴的正半轴的交点为M,过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N,当|MN|=
4
3
2
时,求直线 l 的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(-1,cosωx+
3
sinωx)
n
=(f(x),cosωx)
,其中ω>0,且
m
n
,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为
3
2
π

(Ⅰ)求ω的值.
(Ⅱ)设α是第一象限角,且f(
3
2
α+
π
2
)=
23
26
,求
sin(α+
π
4
)
cos(π+2α)
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2008•杨浦区二模)(文)已知向量
a
=(x2+1,-x)
b
=(1,2
n2+1
)
(n为正整数),函数f(x)=
• 
,设f(x)在(0,+∞)上取最小值时的自变量x取值为an
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn},其中bn=an+12-an2,设Sn为数列{bn}的前n项和,求
lim
n→∞
Sn
C
2
n

(3)已知点列A1(1,a12)、A2(2,a22)、A3(3,a32)、…、An(n,an2)、…,设过任意两点Ai,Aj(i,j为正整数)的直线斜率为kij,当i=2008,j=2010时,求直线AiAj的斜率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2008-2009学年湖北省咸宁市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知向量,其中(x,y,c∈R),把其中x,y所满足的关系式记为y=f(x),若函数f(x)为奇函数.
(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ) 已知数列{an}的各项都是正数,Sn为数列{an}的前n项和,且对于任意n∈N*,都有“{f(an)}的前n项和等于Sn2,”求数列{an}的通项式;
(Ⅲ) 若数列{bn}满足,求数列{bn}的最小值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案