Question

已知抛物线x²=3y上的两点A、B的横坐标恰是方程x²+px+q=0（p，q是实数）的两个实根，则直线AB的方程是 ________．

Answer 1

px+3y+q=0（△=p²-4q＞0）
分析：分别设出A和B的坐标，根据抛物线上两点的横坐标都是方程的解得到方程有两个不等的实数根，即△＞0，列出p与q的关系式，在这个关系式成立时，分别把A和B的坐标代入抛物线解析式和方程中，分别消去平方项得到两等式③和④，根据两等式的特点即可得到直线AB的方程．
解答：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且方程有两个不同的解得到：△=p²-4q＞0，
把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x₁²=3y₁①，x₁²+px₁+q=0②，
①-②整理得：px₁+3y₁+q=0③；同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：px₂+3y₂+q=0④，
③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：px+3y+q=0（△=p²-4q＞0）．
故答案为：px+3y+q=0（△=p²-4q＞0）
点评：此题考查学生会求动点的轨迹方程，掌握一元二次方程有两个不相等的实数根的条件为△＞0，是一道综合题．学生做题容易忽视△＞0这个条件．