Question

已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；
（2）当a＜0时，若函数满足y_极大值=1，y_极小值=-3，试求函数y=f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）f'（x）=-3x²+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，
则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立．
即，
∴a≥3．
（2）令f′（x）=-3x²+2ax=0，得x₁=0，x₂=a．
∵a＜0，
∴y_极大值=f（0）=b=1，
y_极小值=f（a）=-a³+a³+1=-3，
∴a=-3，
∴f（x）=-x³-3x²+1．
分析：（1）要使f（x）在（0，2）上单调递增，则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立，由此可求得a的取值范围；
（2）令f′（x）=-3x²+2ax=0，求得极大值点与极小值点，结合足y_极大值=1，y_极小值=-3，可求得a，b的值，从而求得函数y=f（x）的解析式．
点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，着重考查二次函数在区间上的恒成立问题与导数单调性与极值之间的关系，属于中档题．