Question

（2013•婺城区模拟）对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的-个“好区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=sinx；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=x³-3x；
④f（x）=lgx+l．
其中存在“好区间”的函数是

②③④

．  （填入相应函数的序号）

Answer 1

分析：题目给出的是新定义题，定义的“好区间”是指的如果存在一个区间M=[a，b]，使得以该区间为定义域的前提下，函数的值域也是该区间．
①对于函数f（x）=sinx，根据其在[-

π

2

，

π

2

]上是单调增函数，通过分析方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上仅有一解，在定义域其它范围内无解说明函数没有“好区间”；
②通过分析函数f（x）=|2^x-1|的图象，知函数在[0，+∞）上是增函数，在该范围内取x∈[0，1]时，对应的函数值的范围也是[0，1]，说明区间[0，1]是函数的一个好区间；
③通过对已知函数求导，分析出函数的单调区间，找到极大值点和极小值点，并求出极大值b和极小值a，而求得的
f（a）与f（b）在[a，b]范围内，所以[a，b]为该函数的一个“好区间”；
④根据函数在定义域内是单调函数，函数若有“好区间”，则方程f（x）=x应有两根，利用函数单调性，结合根的存在性定理判断即可．

解答：解：①函数f（x）=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上是单调增函数，若函数在[-

π

2

，

π

2

]上存在“好区间”[a，b]，
则必有sina=a，sinb=b．
即方程sinx=x有两个根，令g（x）=sinx-x，g^′（x）=cosx-1≤0在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
所以函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上为减函数，则函数g（x）=sinx-x在[-

π

2

，

π

2

]上至多有一个零点，
即方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上不可能有两个解，又因为f（x）的值域为[-1，1]，所以当x＜-

π

2

或x＞

π

2

时，
方程sinx=x无解．
所以函数f（x）=sinx没有“好区间”；
②对于函数f（x）=|2^x-1|，该函数在[0，+∞）上是增函数，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]时，
f（x）∈[0，1]=M，所以M=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的一个“好区间”；
③对于函数f（x）=x³-3x，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
当x∈（-1，1）时，f^′（x）0．
所以函数f（x）=x³-3x的增区间是（-∞，-1），（1，+∞），减区间是（-1，1）．
取M=[-2，2]，此时f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
所以函数f（x）=x³-3x在M=[-2，2]上的值域也为[-2，2]，则M=[-2，2]为函数的一个“好区间”；
④函数f（x）=lgx+1在定义域（0，+∞）上为增函数，若有“好区间”
则lga+1=a，lgb+1=b，也就是函数g（x）=lgx-x+1有两个零点．
显然x=1是函数的一个零点，
由g′(x)=

1

xln10

-1＜0，得x＞

1

ln10

，函数g（x）在(

1

ln10

，+∞)上为减函数；
g′(x)=

1

xln10

＞0，得x＜

1

ln10

．函数在（0，

1

ln10

）上为增函数．
所以g（x）的最大值为g（

1

ln10

）＞g（1）=0，
则该函数g（x）在（0，

1

ln10

）上还有一个零点．
所以函数f（x）=lgx+1存在“好区间”．
故答案为②③④．

点评：本题是新定义题，考查了函数的定义域与值域的关系，体现了数学转化思想，此题中单调函数存在好区间的条件是f（x）=x，正确理解“好区间”的定义是解答该题的关键，是中档题．