Question

4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=3[f（x-$\frac{π}{12}$）]²+mf（x-$\frac{π}{12}$）+2在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有四个不同零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）的部分图象求出A、ω以及φ的值即可；
（Ⅱ）求出f（x-$\frac{π}{12}$）=sin2x，化简函数F（x），
根据题意设t=sin2x，则由x∈[0，$\frac{π}{2}$]时t∈[0，1]，
把F（x）=0化为3t²+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，
由此求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）根据f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2；
由“五点法画图”知，
2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{6}$；
∴函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）∵f（x-$\frac{π}{12}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=sin2x，
∴函数F（x）=3[f（x-$\frac{π}{12}$）]²+mf（x-$\frac{π}{12}$）+2
=3sin²（2x）+msin2x+2；
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有四个不同零点，
设t=sin2x，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得2x∈[0，π]，即sin2x∈[0，1]，
∴t∈[0，1]，
令F（x）=0，则3t²+mt+2=0在[0，1]上有两个不等的实数根，
令g（t）=3t²+mt+2
则由$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（0）≥0}\\{g（1）＞0}\\{0＜-\frac{m}{6}＜1}\end{array}\right.$，解得-5＜m＜-2$\sqrt{6}$；
∴实数m的取值范围是-5＜m＜-2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了由部分图象求三角函数解析式的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是综合性问题．