Question

（2006•重庆一模）已知两点M（-2，0），N（2，0），动点P（x，y）在y轴上的射影为H，|

PH

|是2和

PM

•

PN

的等比中项．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（I）先用坐标表示出向量

PH

=(-x，0)，

PM

=(-2-x，-y)，

PN

=(2-x，-y)，进而利用|

PH

|是2和

PM

•

PN

的等比中项，可得(|

PH

|)2=2

PM

•

PN

，从而求出动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|，所以双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=

10

（当且仅当Q，E．M共线时取“=”），此时，实轴长为2a，最大为

10

；同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为

10

，从而可求实轴最长的双曲线C的方程．

解答：解：（I）M（-2，0），N（2，0），设动点P的坐标为（x，y），所以H（0，y），
所以

PH

=(-x，0)，

PM

=(-2-x，-y)，

PN

=(2-x，-y)
∴

PM

•

PN

=x2-4+y2，|  

PH

|2=x2
∵|

PH

|是2和

PM

•

PN

的等比中项
∴(|

PH

|)2=2

PM

•

PN

∴x²=2（x²-4+y²）
∴

x2

8

+

y2

4

=1为所求动点P的轨迹方程；
（II）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，且Q在右支上，N（2，0）关于直线x+y=1的对称点为E（1，-1），则|QE|=|QN|
∴双曲线C的实轴长2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=

10

（当且仅当Q，E．M共线时取“=”），此时，实轴长为2a，最大为

10

同理若Q在左支上，双曲线C的实轴长为2a，最大为

10

∴双曲线C的实半轴长为a=

10

2

∵c=

1

2

|MN|=2
∴b2=c2-a2=

3

2

∴实轴最长的双曲线C的方程为

x2

5 2

-

y2

3 2

=1．

点评：本题以向量为载体，考查向量的坐标运算，考查动点的轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，综合性较强．