Question

如图，已知过点A（0，1）的直线l与抛物线C：y=x²交于M，N两点，又抛物线C在M，N两点处的两切线交于点B，M，N两点的横坐标分别为x₁，x₂．
（1）求x₁x₂的值；
（2）求B点的纵坐标t的值．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x²，利用韦达定理可求x₁x₂的值；
（2）确定切线方程，求得交点坐标，利用（1）的结论，即可求B点的纵坐标t的值．

解答：解：（1）设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x²，可得x²-kx-1=0
∵M，N两点的横坐标分别为x₁，x₂，
∴x₁x₂=-1；
（2）由y=x²，得y′=2x，
∴抛物线y=x²在点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）处的切线的斜率分别为2x₁，2x₂，
∴抛物线C在M，N两点处的两切线方程分别为y-y₁=2x₁（x-x₁），y-y₂=2x₂（x-x₂），
即为y=2x₁x-x₁²，y=2x₂x-x₂²，
∴x₂y=2x₁x₂x-x₂x₁²，x₁y=2x₁x₂x-x₁x₂²，
∵x₁x₂=-1
∴两式相减，可得B点的纵坐标t=-1．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．