Question

2．已知两点M（-3，0），N（3，0），点P为坐标平面内的动点，且|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|=$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{PN}$，若Q为直线2x+y-9=0上一点，则|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 设P（x，y），由|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|=$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{PN}$，得 6$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$=6（3-x），由此化简能求出点P的轨迹C的方程．
设与直线2x+y-9=0平行的直线方程为2x+y+c=0，利用直线与抛物线的相切关系求得c，再由两平行线间的距离即可求得|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值．

解答 解：设P（x，y），则$\overrightarrow{MN}$=（6，0），$\overrightarrow{MP}$=（x+3，y），$\overrightarrow{PN}$=（3-x，-y），
由|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|=$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{PN}$，得 6$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$=6（3-x），
化简得y²=-12x．
所以动点P的轨迹方程为y²=-12x．
设与直线2x+y-9=0平行的直线方程为2x+y+c=0，
则由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+c=0}\\{{y}^{2}=-12x}\end{array}\right.$得4x²+（4c+12）x+c²=0，
由△=0得，（4c+12）²-16c²=0，解得c=-$\frac{3}{2}$，
由两平行线间的距离得d=$\frac{|-9+\frac{3}{2}|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了轨迹方程的求法及直线与曲线的位置关系，两平行线间的距离等知识，属于中档题．