Question

11．设a，b，c为正实数，求证：
（Ⅰ） $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc≥2\sqrt{3}$；
（Ⅱ） ${a^2}+{b^2}+{c^2}+{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）^2}≥6\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用综合法以及基本不等式直接证明 $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc≥2\sqrt{3}$；
（Ⅱ）通过a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，结合基本不等式证明 ${a^2}+{b^2}+{c^2}+{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）^2}≥6\sqrt{3}$．

解答 证明：（Ⅰ）∵a，b，c为正实数∴$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}≥3\root{3}{{\frac{1}{{{a^3}{b^3}{c^3}}}}}=\frac{3}{abc}$，当且仅当a=b=c时取等号．
∵$\frac{3}{abc}+abc≥2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+abc≥2\sqrt{3}$，当且仅当a=b=c时取等号…（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c为正实数
∴a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
同理  $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}≥\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}$，${（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）^2}≥$$\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ac}$
∴${a^2}+{b^2}+{c^2}+{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）^2}≥$$ab+bc+ac+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ac}≥6\sqrt{3}$，
当且仅当a=b=c时取等号．…（10分）

点评 本题考查综合法以及基本不等式的应用，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力．