Question

1．如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠PAC=30°，∠ACB=45°，BC=2$\sqrt{2}$，PA⊥AB．
（1）求PC的长；
（2）若点M在侧棱PB上，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MP}$，当λ为何值时，二面角B-AC-M的大小为30°．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC．
（2）求出平面ACM的一个法向量和平面ABC的一个法向量，利用向量法能求出当λ=1时，二面角B-AC-M的大小为30°．

解答 解：（1）∵PC⊥平面ABC，PA⊥AB，∴AB⊥AC，
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA⊥AB，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BA}$=0，
∴（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$）=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+{\overrightarrow{CA}}^{2}$=0，
∵PC⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{CA}$=0，
∴-|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cos∠ACB+|$\overrightarrow{CA}$|²=0，
即-$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}+|\overrightarrow{CA}|=0$，
解得AC=2，
在Rt$△PAC\$中，PC=ACsin30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵点M在侧棱PB上，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MP}$，
∴M（$\frac{2}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$，$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}λ}{1+λ}$），
设平面ACM的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=2x+2λy+\frac{2\sqrt{3}}{3}λz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}λ，0，1$），
平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∵二面角B-AC-M的大小为30°，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}{λ}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=1或λ=-1（舍），
∴当λ=1时，二面角B-AC-M的大小为30°．

点评 本题考查线段长的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．