Question

已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）增区间是，减区间是（Ⅱ）（Ⅲ）证明如下

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．      

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．

由得．

①当时，．

此时在上单调递增．故，符合题意．

②当时，．

当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．              

综合①，②得，实数的取值范围是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．          

考点：导数的应用

点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。