Question

解关于x的不等式x²-2mx+m+1＞0．

Answer 1

分析：先求△=4（m²-m-1），再分三种情况讨论
①△＞0，求出方程的实数根，解出不等式即可；
②△=0，求出方程的实数根，解出不等式即可；
③△＜0，解出不等式即可．

解答：解：△=4（m²-m-1），
 ①当△＞0时，即m＞

1+ 5

2

或m＜

1- 5

2

时，
方程x²-2mx+m+1=0有二实数根：x₁=m-

m2-m-1

，x₂=m+

m2-m-1

．
∴原不等式的解集为{x|x＜m-

m2-m-1

或x＞m+

m2-m-1

}．
②当△=0，即m=

1± 5

2

时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}．
③当△＜0，即

1- 5

2

＜m＜

1+ 5

2

时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．
综上可知，当m＞

1+ 5

2

或m＜

1- 5

2

时，不等式的解集为{x|x＜m-

m2-m-1

或x＞m+

m2-m-1

}；
当m=

1± 5

2

时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
当

1- 5

2

＜m＜

1+ 5

2

时，原不等式的解集为R．

点评：本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，重在考查分类讨论的思想在解题中的应用，注意分类时要不重不漏．