Question

已知函数f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的反函数为f^-1（x），且m为函数g（x）=lnx与函数h（x）=

1 2 (x-1)(x≤1) x2-4x+3(x＞1)

的交点个数，n=

lim

x→∞

(

x2+x+1

-

x2-x+1

)，则函数y=[f^-1（x）]²+

x2-1

的值域是

{0}

．

Answer 1

分析：先根据题设，求出函数f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的解析式，进而可求其反函数为f^-1（x），再求函数y=[f^-1（x）]²+

x2-1

的值域．

解答：解：由题意，当0＜x≤1时，函数g（x）=lnx与函数h（x）=

1

2

(x-1)有交点（1，0）
当x＞1时，函数g（x）=lnx与函数h（x）=x²-4x+3有一个交点，
∵m为函数g（x）=lnx与函数h（x）=

1 2 (x-1)(x≤1) x2-4x+3(x＞1)

的交点个数
∴m=2
∵n=

lim

x→∞

(

x2+x+1

-

x2-x+1

)，则n=

lim

x→∞

2x

x2+x+1 + x2-x+1

=

lim

x→∞

2

1+ 1 x + 1 x2 + 1- 1 x + 1 x2

=1
∴函数f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）为f（x）=x²-1（x∈[0，1]）
∴f^-1（x）=

1+x

（x∈[-1，0]）
∴函数y=[f^-1（x）]²+

x2-1

=1+x+

x2-1

∵x²-1≥0
∴x≥1或x≤-1
∵x∈[-1，0]
∴x=-1
∴y=1-1+0=0
∴函数y=[f^-1（x）]²+

x2-1

的值域是{0}
故答案为{0}

点评：本题以函数为载体，考查反函数，考查图象的交点，考查函数的值域，解题的关键是确定函数的解析式，确定函数的定义域．