Question

【题目】如图，直线AB经过⊙O上一点C，⊙O的半径为3，△AOB是等腰三角形，且C是AB中点，⊙O交直线OB于E、D．

（1）证明：直线AB与⊙O相切；
（2）若∠CED的正切值为 ，求OA的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB，

∴AB是⊙O的切线，即直线AB与⊙O相切．

（2）证明：依题意知，DE是直径，

∴∠ECD=90°，

∴在Rt△ECD中，由tan∠CED= ，得 ，

∵AB是⊙O的切线，

∴∠BCD=∠E，

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△BCD∽△BEC，

∴ ，设BD=x，则BC=2x，

又BC2=BDBE，

∴（2x）2=x（x+6），解得x1=0，x2=2，

∵BD=x＞0，

∴BD=2，

∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

【解析】（1）连接OC，证明：OC⊥AB，即可证明直线AB与⊙O相切；（2）证明△BCD∽△BEC，可得 ，利用切割线定理，求OA的长．