Question

（本题满分16分）
函数f(x)＝x³＋3ax²＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线3x＋y＋2＝0．
（1）求a，b的值；　　（2）求函数的极大值与极小值的差．

Answer 1

（1）a＝－1，b＝0
（2）4

（1）f¢(x)＝3x²＋6ax＋3b．令f¢(x)＝0，得3x²＋6ax＋3b＝0（Ⅰ），因为f(x)在x＝2处有极值，所以，x＝2是方程（Ⅰ）的根，代入得4＋4a＋b＝0 ①；又图象在x＝1处的切线平行于直线3x＋y＋2＝0，故y¢|_x＝1＝－3，即3＋6a＋3b＝－3 ②．所以由①，②解得a＝－1，b＝0．
（2）由（1）知f(x)＝x³－3x²＋c，f¢(x)＝3x²－6x．f¢(x)＝0的另一个根为x＝0．列表如下：

x	(－∞，0)	0	(0，2)	2	(2，＋∞)
f¢(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

 
因此，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝c；当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝c－4．所以，所求的极大值与极小值之差为c－(c－4)＝4．