Question

如图所示的树形图形．第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成135⁰的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度．

（Ⅰ）求第三层及第四层树形图的高度H₃，H₄；

（Ⅱ）求第n层树形图的高度H_n；

（Ⅲ）若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”．显然，当 时是“矮小”的，是否存在．使得当时，该树形图是“高大”的?

Answer 1

解：(Ⅰ)设题中树形图（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，

则，

所以，第三层树形图的高度．

第四层树形图的高度．

（Ⅱ）易知，所以第n层树形图的高度为，

所以，当为奇数时，第n层树形图的高度为

；

当为偶数时，第n层树形图的高度为

．

（Ⅲ）不存在．

由（Ⅱ）知，当为奇数时，

；

当为偶数时，，

由定义，此树形图是永远是“矮小“的．所以不存在．使得当时，该树形图是“高大”的．