Question

如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.

    （Ⅰ）求异面直线与的距离；

    （Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）因，且，故面A₁ABB₁，从而B₁C₁⊥B₁E，又

              B₁E⊥DE，故B₁E是异面直线B₁C₁与DE的公垂线.

              设BD的长度为，则四棱椎的体积为而直三棱柱的体积为.

              由已知条件，故，解得.

              从而B₁D.

              又直角三角形中，

              ,

              又因.

              故.

（Ⅱ）如右图，过B₁作B₁F⊥C₁D，垂足为F，

连接A₁F.因A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁D，

故A₁B₁⊥面B₁DC₁，由三垂线定理知C₁D⊥A₁F，

故∠A₁FB₁为所求二面角的平面角.

              在直角中，，

              又因，故

              ，所以.