Question

10．设f（x）=x²+2xsinθ+1．
（1）当θ为何值时方程f（x）=0有解？求出该方程的解；
（2）若f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调减函数，求θ的取值范围；
（3）若f（x）≥x²对一切实数θ成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）配方，结合非负数概念，解方程即可得到所求解；
（2）求出对称轴方程，由图象可得-sinθ≥$\frac{1}{2}$，运用正弦函数的图象，即可得到所求范围；
（3）f（x）≥x²对一切实数θ成立，可得2xsinθ+1≥0，由t=sinθ∈[-1，1]，可得2xt+1≥0，可设g（t）=2xt+1，运用一次函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=x²+2xsinθ+1=（x+sinθ）²+1-sin²θ，
f（x）=0，可得x+sinθ=0，1-sin²θ=0，
解得sinθ=±1，x=-sinθ，
即为θ=2kπ±$\frac{π}{2}$，k∈Z时，方程有解，
当θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，方程解为x=-1；
当θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z时，方程解为x=1．
（2）函数f（x）的对称轴为x=-sinθ，
由f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调减函数，
可得-sinθ≥$\frac{1}{2}$，
解得2kπ+$\frac{7π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z；
（3）f（x）≥x²对一切实数θ成立，
可得2xsinθ+1≥0，
由t=sinθ∈[-1，1]，可得2xt+1≥0，
可设g（t）=2xt+1，即有g（-1）≥0，g（1）≥0，
即为1-2x≥0，1+2x≥0，
解得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$．
即有x的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查二次函数的单调性和不等式恒成立问题的解法，考查方程的解的求法，注意运用转化思想和正弦函数的图象和性质，属于中档题．