Question

已知椭圆＋＝1(其中a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．

(1)求＋的值；

(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得x1x2＋y1y2＝0， 　　∵y1＝1－x1，y2＝1－x2， 　　代入x1x2＋y1y2＝0，得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，① 　　又将y＝1－x代入＋＝1，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，代入①式并化简，得＋＝2． 　　(2)由e2＝＝1及已知得≤1≤，≤≤， 　　又由(1)知b2＝， 　　所以≤≤，≤a2≤，≤a≤，其长轴2a∈[，]． 　　解析：本题涉及直线与椭圆的交点，对于此类问题往往联立它们的方程消去其中的一个未知数，再利用根与系数间的关系，得到相应的两个交点的坐标间的关系，再结合题目中的其他条件将问题解决．