【题目】一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施,其轴截面如图中实线所示.ABCD是等腰梯形,AB=20米,∠CBF=α(F在AB的延长线上,α为锐角).圆E与AD,BC都相切,且其半径长为100﹣80sinα米.EO是垂直于AB的一个立柱,则当sinα的值设计为多少时,立柱EO最矮?
【答案】解:如图所示,以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
因为B(10,0),kBC=tanα,所以直线BC的方程为:y=tanα(x﹣10),即xtanα﹣y﹣10tanα=0.
设圆心E(0,t),(t>0),由圆E与直线BC相切,得100﹣80sinα= = ,
所以EO=t= ,
令f(α)= ,α∈(0, ),则f′(α)= ,
设sinα0= ,α0∈(0, ).列表如下:
α | (0,α0) | α0 | (α0 , ) |
f′(α) | ﹣ | 0 | + |
f(α) | 减 | 极小值 | 增 |
所以当α=α0 , 即sin 时,f(α)取最小值.
答:当sin 时,立柱EO最矮.
【解析】以AB所在直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,由已知可求直线BC的方程为:xtanα﹣y﹣10tanα=0,设圆心E(0,t),(t>0),由圆E与直线BC相切,可求EO=t= ,令f(α)= ,α∈(0, ),则f′(α)= ,设sinα0= ,α0∈(0, ).列表可求EO的最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识,掌握正弦定理:.
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【题目】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元分钟,假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元分钟,那么该公司合理分配在甲、乙两个电视台的广告时间,能使公司获得最大的收益是()万元
A.72B.80C.84D.90
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【题目】“若A则B”为真命题,而“若B则C”的逆否命题为真命题,且“若A则B”是“若C则D”的充分条件,而“若D则E”是“若B则C”的充要条件,则¬B是¬E的____条件;A是E的____条件.(填“充分”“必要”、“充要”或“既不充分也不必要”)
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【题目】(本小题满分10分)选修4—4,坐标系与参数方程
已知曲线,直线:(为参数).
(I)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;
(II)过曲线上任意一点作与夹角为的直线,交于点,的最大值与最小值.
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【题目】某工厂要制造A种电子装置45台,B种电子装置55台,需用薄钢板给每台装置配一个外壳,已知薄钢板的面积有两种规格:甲种薄钢板每张面积2m2,可做A、B的外壳分别为3个和5个,乙种薄钢板每张面积3m2,可做A、B的外壳分别为6个和6个,求两种薄钢板各用多少张,才能使总的面积最小.
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【题目】2018年俄罗斯世界杯激战正酣,某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查,得到如下频数分布表:
收看时间 (单位:小时) | ||||||
14 | 28 | 20 | 12 |
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”,否则定义为“非球迷”,请根据频数分布表补全列联表:
男 | 女 | 合计 | |
球迷 | 40 | ||
非球迷 | |||
合计 |
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关;
(2)在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名,再从这6名“球迷”中选取2名世界杯知识讲座.记其中女职工的人数为,求的分布列与数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
.
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【题目】(1)求直线在矩阵对应变换作用下的直线的方程;
(2)在平面直角坐标系中,已知曲线以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,求曲线C与直线交点的极坐标.
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