Question

设函数.
（1）若函数是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
（2）求函数的极值点.

Answer 1

（1）（2）时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.

（1）先求导，可得,因为函数是定义域上的单调函数,所以只能是上恒成立，也就是说函数f(x)只能是增函数，到此问题基本得解.
（2）在（1）的基础上，可知当时，的点是导数不变号的点，函数无极值点；然后再分和两种情况进一步研究.
解:（1），若函数是定义域上的单调函数，
则只能在上恒成立，即在上恒成立.，
，
令，则，可得，即只要.
（或令，则函数图象的对称轴方程是，故只要恒成立，）
（2）有（1）知当时，的点是导数不变号的点，
故时，函数无极值点；
当时，的根是，
若，，此时，，且在上，
在上，故函数有唯一的极小值点；
当时，，此时，
在都大于，在上小于 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点．
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点.