Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过等差数列的求和公式S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$计算可知a₁=1，进而可求出d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$，计算即得结论；
（2）通过（1）可知2ⁿ•a_n=n•2ⁿ，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，S₅=15=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=$\frac{5（{a}_{1}+5）}{2}$，
解得：a₁=1，d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{1}}{5-1}$=$\frac{5-1}{5-1}$=1，
∴数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知2ⁿ•a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
错位相减得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）=n•2ⁿ⁺¹-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．