Question

已知函数f（x）=ax²+bx-2，（a＞0，b∈R）的一个零点在区间（1，2）内，则a-b的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-4）
• B、（-4，+∞）
• C、（-∞，2）
• D、（-2，+∞）

Answer 1

考点：简单线性规划,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意知，一个根在区间（1，2）内，得关于a，b的等式，再利用线性规划的方法求出a-b的取值范围．

解答： 解：设f（x）=ax²+bx-2，由题意得，f（1）•f（2）＜0，
∴（a+b-2）（4a+2b-2）＜0．且a＞0．
即

a+b-2＜0 4a+2b-2＞0 a＞0

，

a+b-2＞0 4a+2b-2＜0 a＞0

（不合题意舍去）
视a，b为变量，作出可行域如图

设z=a-b
∴b=a-z，得到一簇斜率为1，截距为-z的平行线
∴当直线b=a-z过（0，2）时截距最大，z最小，即a=0，b=2，又a＞0，所以z=a-b没有最小值，
当过直线于x轴交点时，截距最小，z最大，

a+b-2=0 b=0

∴a=2，b=0
∴a-b的最大值为：2-0=2，无最小值，
∴a-b的取值范围为：（-∞，2）；
故选C．

点评：本题考查了线性规划的运用，线性规划为研究函数的最值或最优解提供了新的方法，借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．