Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求f（2）的取值范围；
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f（x）的图象交点个数的情况，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出f′（x）由已知可知f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，则x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0．求出b即可；
（2）由（1）得到f（x）的解析式，因为1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，推出c=1-a，又f'（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，x2=

2a

3

．f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，求出a的取值范围，求出f（2）的取值范围即可．
（3）要求直线y=x-1与函数y=f（x）的图象交点个数，需要把两个解析式联立求公共解，公共解有几个交点就有几个，再讨论a的取值范围，分不同情况讨论出交点个数即可．

解答：解：（1）解：∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0．∴b=0．
（2）解：由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1-a．
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，x2=

2a

3

．
∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴x2=

2a

3

＞1，即a＞

3

2

．
∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7＞-

5

2

．
（3）解：由（2）知f（x）=-x³+ax²+1-a，且a＞

3

2

．
要讨论直线y=x-1与函数y=f（x）图象的交点个数情况，
即求方程组

y=x-1 y=-x3+ax2+1-a

解的个数情况：由-x³+ax²+1-a=x-1，得（x³-1）-a（x²-1）+（x-1）=0．
即（x-1）（x²+x+1）-a（x-1）（x+1）+（x-1）=0．
即（x-1）[x²+（1-a）x+（2-a）]=0．∴x=1或x²+（1-a）x+（2-a）=0．
由方程x²+（1-a）x+（2-a）=0，（*）
得△=（1-a）²-4（2-a）=a²+2a-7．∵a＞

3

2

，
若△＜0，即a²+2a-7＜0，解得

3

2

＜a＜2

2

-1．此时方程（*）无实数解．
若△=0，即a²+2a-7=0，解得a=2

2

-1．此时方程（*）有一个实数解x=

2

-1．
若△＞0，即a²+2a-7＞0，解得a＞2

2

-1．
此时方程（*）有两个实数解，分别为
x1=

a-1- a2+2a-7

2

，x2=

a-1+ a2+2a-7

2

．
且当a=2时，x₁=0，x₂=1．
综上所述，当

3

2

＜a＜2

2

-1时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有一个交点．
当a=2

2

-1或a=2时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有二个交点．
当a＞2

2

-1且a≠2时，直线y=x-1与函数y=f（x）的图象有三个交点．

点评：此题考查利用导数求函数的最值的方法确定函数解析式，函数与方程的综合应用．培养学生解数学决问题的能力．