Question

已知A是抛物线y²=2x上的一动点，过A作圆（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于E、F两点，交y轴于B、C两点．
（1）当A点的坐标为（8，4）时，求直线EF的方程．
（2）当A点的横坐标大于2时，求△ABC的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）圆：（x-1）²+y²=1的圆心C（1，0），所以以AC为直径的圆为：x²+y²-9x-4y+8=0，结合题意证明点E、F在圆x²+y²-9x-4y+8=0上，所以E、F两点是两个圆的交点，两个圆的方程相减即可得到直线EF的方程．
（2）设B（0，y_B），C（0，y_C），A（x_O，y_O），其中x₀＞2，写出直线AB的方程为（y_O-y_B）x-x_Oy+x_Oy_B=0，由直线AB与圆相切可得（x_O-2）y_B²+2y_Oy_B-x_O=0，同理：（x_O-2）y_A²+2y_Oy_A-x_O=0，故y_A，y_B是方程（x_O-2）y²+2y_Oy-x_O=0的两个不同的实根，因为S=

1

2

|yA-yB|xO，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．

解答：解：（1）由题意可得：圆：（x-1）²+y²=1的圆心C（1，0），
所以以线段AC为直径的圆的方程为：x²+y²-9x-4y+8=0．
因为AE⊥CE，AF⊥CF，
所以点E、F在圆x²+y²-9x-4y+8=0上，
所以E、F两点是两个圆的交点．
所以所求圆的方程与圆：（x-1）²+y²=1相减，消去二次项，就得公共弦EF所在的直线方程，
所以直线EF的方程为7x+4y-8=0．
（2）设B（0，y_B），C（0，y_C），A（x_O，y_O），其中x₀＞2，
所以直线AB的方程为y=

yO-yB

xO

x+yB，化简得（y_O-y_B）x-x_Oy+x_Oy_B=0
直线AB与圆相切，故

|yO-yB+xOyB|

(yO-yB)2+x02

=1，两边平方化简得（x_O-2）y_B²+2y_Oy_B-x_O=0
同理可得：（x_O-2）y_A²+2y_Oy_A-x_O=0，
故y_C，y_B是方程（x_O-2）y²+2y_Oy-x_O=0的两个不同的实根，yC+yB=

2yO

2-xO

，yC•yB=

xO

2-xO

因为S=

1

2

|yC-yB|xO
所以S=

1

2

(yC-yB)2

xO=

xO2

xO-2

=(xO-2)+

4

xO-2

+4≥8，
所以当且仅当x_O=4时，S取到最小值8，
所以△ABC的面积的最小值为8．

点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及圆与圆的位置关系，而解决直线与圆锥曲线的位置关系有关的问题，一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理来找突破口．