Question

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=

.

3 3 c d

.

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为

α1

=

.

1 1

.

，属于特征值1的一个特征向量为

α2

=

.

3 -2

.

．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

Answer 1

分析：根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A，再利用公式求逆矩阵．

解答：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=

.

1 1

.

可得

.

3 3 c d

.

.

1 1

.

=6

.

1 1

.

，
即c+d=6；            …（3分）
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₂=

.

3 -2

.

，可得

.

3 3 c d

.

.

3 -2

.

=

.

3 -2

.

，
即3c-2d=-2，…（6分）
解得即A=

.

3 3 2 4

.

，…（8分）
∴A逆矩阵是A^-1=

d ad-bc -b ad-bc -c ad-bc a ad-bc

=

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，同时考查了逆矩阵求解公式，属于基础题．