Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的定点的横坐标为x_n，令a_n=lgx_n．
（1）当n=1时，求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）求a₁+a₂+…+a₉₉的值．

Answer 1

分析：（1）取n=1求得函数解析式，求导后得到f′（1）=2．然后直接带入直线方程点斜式得答案；
（2）求出原函数的导函数，求出f′（1），代入直线方程的点斜式，取y=0求得切线与x轴交点的横坐标，代入a_n=lgx_n，利用对数的运算性质求a₁+a₂+…+a₉₉的值．

解答：解：（1）当n=1时，f（x）=x²．
∴f′（x）=2x，f′（1）=2．
∴曲线在点（1，1）处的切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）∵y=f（x）=xⁿ⁺¹，∴f′（x）=（n+1）xⁿ，∴f′（1）=n+1．
故切线方程为y-1=（n+1）（x-1）．
令y=0，得x=

n

n+1

．
∴切线与x轴焦点的横坐标为

n

n+1

．
∴a₁+a₂+…+a₉₉=lgx₁+lgx₂+lgx₃+…+lgx₉₉
=lg（x₁•x₂•x₃…x₉₉）=lg(

1

2

•

2

3

•

3

4

…

99

100

)
=lg10^-2=-2．

点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了数列的求和，训练了对数的运算性质，是中档题．