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12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+n.
(1)证明:数列{an-1}为等比数列;
(2)求Sn

分析 (1)利用递推关系变形可得:an-1=2(an-1-1),即可证明.
(2)利用等比数列的求和公式即可得出.

解答 解:(1)当n=1时,S1=a1=2a1+1,a1=-1.
由Sn=2an+n①,得n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1,②
①-②得:an=2an-2an-1+1,an=2an-1-1,
两边同时减1得:an-1=2an-1-2=2(an-1-1),
∴{an-1}是-2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)可得:an-1=-2n,∴an=-2n+1,
∴Sn=-(2+22+…+2n)+n=-$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$+n=-2n+1+2+n.

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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