Question

1．如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

Answer 1

分析 运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案．

解答 解：由题意可得在直角三角形ABF中，
OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，
设A（m，n），则m²+n²=c²，
又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得m=$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，n=$\frac{{b}^{2}}{c}$，
即有A（$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，$\frac{{b}^{2}}{c}$），B（-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$，-$\frac{{b}^{2}}{c}$），
又F（c，0），
由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，
可设C（x，y），即有$\frac{y}{x-c}•\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}+a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}$=-1，
又（c+$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}}{c}$）²+（$\frac{{b}^{2}}{c}$）²=（x-c）²+y²，
可得x=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{c}$，y=-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}+{c}^{2}}{c}$，
将C（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{c}$，-$\frac{a\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}+{c}^{2}}{c}$）代入双曲线方程，化简可得$\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$（b²-a²）=a³，
由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，得（2e²-1）（e²-2）²=1，
可得e=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题．