Question

如图在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知平面，四边形是平行四边形，，，，。
（1）设是线段的中点，求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成的角。

Answer 1

（1）略 （2）45°

本试题主要考查了立体几何中线面平行和线面角的求解的综合运用。
解：（1）证明：取B₁D₁的中点E，连结AE，C₁E，OA，OC′，则A，O，C共线，且C₁E＝OA，
因为BCD－B₁C₁D₁为三棱柱，所以平面BCD∥平面B₁C₁D₁，故C₁E∥OA，所以C₁EAO为平行四边形，从而C₁O∥EA.又因为C₁O?平面AB₁D₁，EA?平面AB₁D₁，所以C₁O∥平面AB₁D₁.

（2）过B₁在平面B₁C₁D₁内作B₁A₁∥C₁D₁，使B₁A₁＝C₁D₁.
连结A₁D₁，AA₁.过B₁作A₁D₁的垂线，垂足为F，连接AF，则B₁F⊥平面ADD₁，所以∠B₁AF为AB₁与平面ADD₁所成的角．在Rt△A₁B₁F中，B₁F＝A₁B₁·sin 60°＝.
在Rt△AB₁F中，AB₁＝，故sin∠B₁AF＝＝，所以∠B₁AF＝45°.
即直线AB₁与平面ADD₁所成角的大小为45°