Question

不等式e^x-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，e-1）

B．（e-1，+∞）

C．（-∞，e+1）

D．（e+1，+∞）

Answer 1

分析：由不等式e^x-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P?1+a＜[

ex

x

]min，x∈[0，2]，利用导数求出即可．

解答：解：①当x=0时，不等式e⁰-0＞0对任意实数x恒成立；
②当x＞0时，不等式e^x-x＞ax可变形为1+a＜

ex

x

，
由不等式e^x-x＞ax的解集为P，且[0，2]⊆P?1+a＜[

ex

x

]min，x∈[0，2]．
设g(x)=

ex

x

，x∈（0，2]．
g^′（x）=

xex-ex

x2

=

ex(x-1)

x2

，令g^′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x≤2时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
由此可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，且f（1）=e．
∴1+a＜e，∴a＜e-1．
故选A．

点评：把问题正确等价转化并熟练掌握利用导数研究函数的极值是解题的关键．