Question

17．已知点F₁，F₂分别为双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左，右焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 5
• C． 4
• D． 9

Answer 1

分析 设P（x，y）（x≥1），则$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（x+2）^{2}+{y}^{2}}{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{4{x}^{2}+4x+1}{2x-1}$，利用换元法，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设P（x，y）（x≥1），则$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{（x+2）^{2}+{y}^{2}}{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{4{x}^{2}+4x+1}{2x-1}$
设t=2x-1（t≥1），$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$=t+$\frac{4}{t}$+4≥4+4=8，
当且仅当t=2时，$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}}{|P{F}_{2}|}$的最小值为8，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查换元法、基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．