Question

定义：若平面点集A中的任一点（x₀，y₀），总存在正实数r，使得集合{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：①（x，y）|x²+y²=4；②（x，y）|x+y-2＞0；③（x，y）||x+y|≤2；④{(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}．其中是开集的是（　　）

• A、①④
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

分析：根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原点为圆心，2为半径的圆，以圆上的点为圆心正实数r为半径的圆面不可能在该圆上，故不是开集，②是集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到直线的距离为d，取r=d，满足条件，故是开集；③在曲线x+y|=2任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合不是开集；④该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合是开集．

解答：解：①：A={（x，y）|x²+y²=4}表示以原点为圆心，2为半径的圆，
则在该圆上任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A
故①不是开集；
②A={（x，y）|x+y-2＞0}平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合是开集；
③A={（x，y）||x+y|≤2}，在曲线x+y|=2任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合不是开集；
④A={(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}表示以点（0，

2

）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到
圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，{(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合是开集．
故选C．

点评：此题是基础题．考查学生的阅读能力和对新定义的理解，如果一个集合是开集，则该集合表示的区域应该是不含边界的平面区域．