Question

已知△ABC的两个顶点B，C的坐标分别为（-1，0）和（1，0），顶点A为动点，如果△ABC的周长为6．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作直线l，与轨迹M交于点Q，若直线l与圆x²+y²=2相切，求线段PQ的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据△ABC的两个顶点B，C的坐标分别为（-1，0）和（1，0），顶点A为动点，△ABC的周长为6，可得动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，但须除去B、C两点，即可求得轨迹M的方程；
（Ⅱ）由于直线l不可能是x轴，故设其方程为x=my+2，利用直线l与圆x²+y²=2相切，求得m的值；把方程x=my+2代入方程

x2

4

+

y2

3

=1中，求点Q的坐标，从而可求线段PQ的长．

解答：解：（Ⅰ）据题意，△ABC的两个顶点B，C的坐标分别为（-1，0）和（1，0），顶点A为动点，△ABC的周长为6．
∴|AB|+|AC|=4，而4＞|BC|=2，
∴动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，但须除去B、C两点，
∴轨迹M的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）
（Ⅱ）由于直线l不可能是x轴，故设其方程为x=my+2，由直线l与圆x²+y²=2相切，得

2

1+m2

=

2

，解得m=±1
把方程x=my+2代入方程

x2

4

+

y2

3

=1中得（3m²+4）y²+12my=0，即得7y²±12y=0，解得y=0或y=±

12

7

．
所以点Q的坐标为(

26

7

，

12

7

)或(

26

7

，-

12

7

)，
所以|PQ|=

12 2

7

，即线段PQ的长为

12 2

7

．

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查椭圆的定义，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查两点间的距离公式，属于中档题．