设{an}是公差不为零的等差数列.满足a6=5.a22+a32=a42+a52.数列{bn}的通项公式为bn=3n-11(1)求数列{an}的通项公式,(2)若从数列{an}.{bn+4}中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列{Cn}.直接写出数列{Cn}的通项公式,(3)记dn=$\frac{b n}{a n}$.是否存在正整数m.n.使得d5.dm.dn成等差数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．设{a_n}是公差不为零的等差数列，满足a₆=5，a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-11
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}，{b_n+4}中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列{C_n}，直接写出数列{C_n}的通项公式；
（3）记d_n=$\frac{b_n}{a_n}$，是否存在正整数m，n（m≠n≠5），使得d₅，d_m，d_n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）设公差为d，通过$a_2^2-a_5^2=a_4^2-a_3^2$，以及a₆=5，求出a₁=-5，d=2，然后求解{a_n}的通项公式．
（2）求出数列{C_n}，首项为7，公差为6，写出结果即可．
（3）假设存在正整数m、n，使得d₅，d_m，d_n成等差数列，推出${d_n}=\frac{3n-11}{2n-7}$，利用等差中项，得：2m=13-$\frac{9}{n-2}$，求出m，n的值即可．

解答解：（1）设公差为d，则$a_2^2-a_5^2=a_4^2-a_3^2$，由性质得$-3d（a_4^{\;}+a_3^{\;}）=d（a_4^{\;}+a_3^{\;}）$，
因为d≠0，所以$a_4^{\;}+a_3^{\;}=0$，即2a₁+5d=0，又由a₆=5得a₁+5d=5，解得a₁=-5，d=2，
所以{a_n}的通项公式为a_n=2n-7…（5分）
（2）数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-11，{a_n}的通项公式为a_n=2n-7，
所以从数列{a_n}，{b_n+4}中按从小到大的顺序取出相同的项构成数列{C_n}，首项为7，公差为6，
所以C_n=6n+1…（10分）
（3），假设存在正整数m、n，使得d₅，d_m，d_n成等差数列，则d₅+d_n=2d_m．${d_n}=\frac{3n-11}{2n-7}$
所以$\frac{4}{3}$+$\frac{3n-11}{2n-7}$=$2×\frac{3m-11}{2m-7}$，化简得：2m=13-$\frac{9}{n-2}$．…（13分）
当n-2=-1，即n=1时，m=11，符合题意；当n-2=1，即n=3时，m=2，符合题意
当n-2=3，即n=5时，m=5（舍去）；当n-2=9，即n=11时，m=6，符合题意．
所以存在正整数m=11，n=1；m=2，n=3；m=6，n=11
使得b₂，b_m，b_n成等差数列．…（16分）

点评本题考查数列的应用，数列与函数相结合，考查转化思想以及计算能力．

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