【题目】已知函数,.
(1)若在处的切线与在处的切线平行,求实数的值;
(2)若,讨论的单调性;
(3)在(2)的条件下,若,求证:函数只有一个零点,且.
【答案】(1) (2)见解析(3)见解析
【解析】分析:(1)先求一阶导函数,,用点斜式写出切线方程
(2)先求一阶导函数的根,求解或的解集,判断单调性。
(3)根据(2)的结论,求出极值画出函数的示意图,分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零,函数在是减函数,故必然有一个零点。
详解:(1)因为,所以;又。
由题意得,解得
(2),其定义域为,
又,令或。
①当即时,函数与随的变化情况如下:
当时,,当时,。
所以函数在单调递增,在和单调递减
②当即时,,
所以,函数在上单调递减
③当即时,函数与随的变化情况如下:
当时,,当时,。
所以函数在单调递增在和 上单调递减
(3)证明:当时,
由①知,的极小值为,极大值为.
因为
且又由函数在是减函数,可得至多有一个零点
又因为,
所以 函数只有一个零点, 且.
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【题目】已知一元二次函数的最大值为,其图象的对称轴为,且与轴两个交点的横坐标的平方和为.
(1)求该一元二次函数;
(2)要将该函数图象的顶点平移到原点,请说出平移的方式.
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【题目】质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过克的为合格.
(1)质检部门从甲车间个零件中随机抽取件进行检测,若至少件合格,检测即可通过,若至少件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;
(2)若从甲、乙两车间个零件中随机抽取个零件,用表示乙车间的零件个数,求的分布列与数学期望.
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【题目】据说伟大的阿基米德逝世后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.
(1)试计算出图案中球与圆柱的体积比;
(2)假设球半径.试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
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【题目】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 |
甲 | 87 | 91 | 90 | 89 | 93 |
乙 | 89 | 90 | 91 | 88 | 92 |
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .
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